Modules: théorie, pratique... et un peu d'arithmétique !

Malgré la place de choix accordée à la théorie des modules dans l'oeuvre de Bourbaki, les modules restent encore de nos jours un épouvantail pour beaucoup d'étudiants et peut-être aussi pour nombre de leurs professeurs. Ces objets, qui sont à juste titre plus compliqués que les espaces vectoriels, ne manquent pourtant pas de charme et s'avèrent dans la pratique d'une efficacité sans pareille. Faut-il pour cela les introduire courageusement dès la licence ou surseoir à cela jusqu'au master ?

L'auteur du présent ouvrage fait oeuvre de démystificateur, en étant à ces objets tout leur aspect insolite ou déroutant. Sans renoncer à aller au plus près des énoncés et de leurs démonstrations, Grégory Berhuy nous prend par la main, fait les vérifications que beaucoup d'auteurs laissent "soigneusement" à la sagacité des lecteurs et finit par rendre ces objets aussi familiers qu'un groupe ou qu'un anneau. Mais, il ne s'arrête évidemment pas là, puisqu'il nous montre comment, une fois maîtrisée, la théorie des A-modules de type fini, pour A anneau principal, règle leur sort à bien des problèmes réputés difficiles comme la réduction des endomorphismes ou l'étude des réseaux. Ce cours introductif traite surtout le cas des A-modules, où A est un anneau commutatif ; dès lors, une montée en niveau nous mène naturellement vers la théorie algébrique des nombres, notamment vers l'examen des anneaux d'entiers de corps de nombres, où le langage des modules offre le cadre le plus opportun pour appréhender les notions d'idéal fractionnaire et de factorisation dans les anneaux de Dedekind.

De même que l'on saisit pleinement la notion abstraite de groupe en le faisant opérer diversement sur des ensembles ou mieux sur des espaces vectoriels, la démarche analogue pour saisir ce qu'est un anneau consiste à le faire vivre dans l'anneau des endomorphismes de divers groupes abéliens. C'est tout simplement cela les A-modules. Et cette chose, si naturelle, s'avère d'une fécondité époustouflante. D'aucuns évoquent d'initier les adolescents à la topologie dès le collège, alors pourquoi ne ferait-on pas autant pour les modules dès le lycée ?